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從上面的推導過程我們可以看出，振型分解就是將質(zhì)點的水平運動在一個新的廣義基上度量，將本來三個質(zhì)點三個水平方向上的自由度轉(zhuǎn)換為在三個振型方向上的自由度，每個振型將三個孤立的質(zhì)量聯(lián)系到了一起，這樣的轉(zhuǎn)換有什么好處呢？解釋這個問題這需要用到振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性原理。振型正交性的表達式為：當時，式中K與M為矩陣形式，它的物理意義可以用三維空間坐標系來類比說明，如下圖：

運動在空間中可以分解到x、y、z三個自由度方向，外力也可以在同一坐標系下分解，每個方向的力只引起相應(yīng)方向的運動，當運動以振型形狀為坐標進行分解時，作用于每個質(zhì)點上的動力也向由振型變換的某個向量上分解，由上節(jié)所述，在此向量上剛度矩陣與質(zhì)量矩陣的比值為一常數(shù)特征值，此時每個振型方向的外力只引起相應(yīng)振型的運動，對其它振型的影響為0。因此我們可以仿效三維空間下運動的求解思路，將位移與外力進行分解，從而可以實現(xiàn)各振型之間的解耦，把三個聯(lián)立微分方程拆分為3個獨立的微分方程，使求解大大簡化。

現(xiàn)在把有阻尼和外力的完整的多自由度微分方程寫出如下，為了表達方便，將矩陣和向量用粗體字母表示：式中地震振動已經(jīng)寫成等效慣性力的形式，將位移按振型分解，，將其代入上式，得：上式左右各乘以，利用振型的正交性，消去正交項，得：，設(shè)，叫做第n振型的模態(tài)質(zhì)量，兩邊同除以，利用單自由度體系，，可化簡為

得，設(shè)為，即為抗規(guī)5.2.2條中的振型參與系數(shù)。

我們還可以直接將振動與外力都分解到各振型上直接計算，位移分解方法前面已經(jīng)得到，現(xiàn)在推導外力的分解方法。地震力的分布我們已經(jīng)知道，如下圖所示：

外部動力的特點是隨時間變化的部分在各質(zhì)點上是相同的，不同的是前面的系數(shù)部分、、，我們把它寫成向量形式因為質(zhì)點上的慣性力、阻尼力與回復力都和質(zhì)量與位移的函數(shù)成正比，對質(zhì)點上的慣性力進行分解時，需要將這個向量向以質(zhì)量矩陣與振型向量之積構(gòu)成的廣義基上分解

即將質(zhì)量向量寫成

寫成字母的形式為：

兩邊同乘以，，得，，，得，，

這樣就將向量拆分為、，三個分量。

將位移與慣性力均在振型n上展開，得：

，兩邊同乘，得：

從而可以得出和前面推導相同的結(jié)論。這樣我們就實現(xiàn)了將三個耦連的由位移表示的方程，按照振型，拆分成了三個獨立的方程，眾所周知，n個獨立方程求解速度比n個耦連方程要快的多，從而大大加快了求解速度。

當我們思考事物的聯(lián)系時，很多道理是相通的

下面我們來計算上面三自由度體系的地震內(nèi)力。前面我們已經(jīng)求出振型、頻率如下：

我們首先求出第一振型的地震力分布：

根據(jù)按照同樣思路，我們可以求出振型2和振型3的振型參與系數(shù)與地震力分布

至此我們就求出了各振型在每個質(zhì)點上的地震力分布（即任一時刻地震力大小的相對值），分布形式與振型的形狀相同，如下圖所示：

略去計算誤差，每個質(zhì)點上的三個力的代數(shù)和都等于1，即等于總的地震力分布。每個振型分配在每個節(jié)點上的動力為上圖中的數(shù)值與之積，也就是在任一時刻，某個振型不同質(zhì)點上作用的動力隨時間的變化關(guān)系是相同的，唯一不同的是幅值。

我們將多自由度在各振型上的振動方程和單自由度運動方程對比：

可以看出，，因為單質(zhì)點的動力計算是最簡單的，所以我們可以先計算出單質(zhì)點的位移，就可以求出第n振型的振型位移，再根據(jù)位移與振型位移的關(guān)系可求出第n振型對位移的貢獻。至此我們就由單自由度的位移結(jié)果求出了各振型的位移結(jié)果，然后在任一時刻將各振型的結(jié)果簡單疊加就可以得到每個質(zhì)點的位移，再進行一階與二階求導就可以求各質(zhì)點的速度與加速度。

參考文獻：

1. 結(jié)構(gòu)動力學—理論及其在地震工程中的應(yīng)用（第四版） Anil K. Chopra

2. 結(jié)構(gòu)動力學（第二版） R. Clough

來源：結(jié)構(gòu)茶館